已知无穷等比数列{an}的公比为q,且有lim(a1/(1+q)-q^n)=1/2,则首项a1的取值范围为

解：设Yn=a1/(1+q)-q^n
显然，｜q｜不能>1,若｜q｜>1,则n→∞limYn不存在.
（∵在｜q｜>1时，n→∞limq^n=±∞).
q≠-1,若q=-1,则Yn无定义。
q≠0,若q=0,则等比数列无定义。
∴由lim[a1/(1+q)-q^n]=1/2，可以推知｜q｜≤1,且q≠-1,q≠0.
当q=1时由n→∞lim[a1/2-1^n]=a1/2-1=1/2,得a1=3
当0<q<1时，由n→∞lim[a1/(1+q)-q^n]=a1/(1+q)=1/2
得a1=(1+q)/2.∵0<q<1,∴1<1+q<2,1/2<(1+q)/2<1.
即1/2<a1<1.
当-1<q<0时，由n→∞lim[a1/(1+q)-q^n]=a1/(1+q)=1/2
得a1=(1+q)/2.∵-1<q<0,,∴0<1+q<1,0<(1+q)/2<1/2
故在题设条件下，a1∈{0<a1<1/2}∪{1/2<a1<1}∪{a1=3}